Lag as a Fundamental Quantity

— Configurational Selection beyond Energy and Force in Nonequilibrium Steady States

Abstract

We propose a syntactic reformulation of nonequilibrium physics in which lag—the delay in relational updates—is treated as the fundamental quantity governing configurational selection. Motivated by recent variational principles unifying gravity and heat flow in nonequilibrium steady states, we reinterpret effective gravity not as a force but as a composite lag-gradient arising from distinct sources of relational delay. In this framework, gravity corresponds to spatially fixed lag, heat flow to update-driven lag, and energy to a bookkeeping representation of lag fixation rather than a primary causal entity.

We introduce the notions of lag-head and lag-gradient and show that stable configurations in multiphase systems are uniquely determined by the sign structure of the total lag-head, independent of dynamical trajectories or entropy production principles. Nonanalyticities in nonequilibrium free energies are reinterpreted as syntactic transitions associated with lag-sign inversion. The formalism admits minimal toy models, extensions to multicomponent systems, and direct mappings to quantum and information-theoretic settings, where ground-state or optimal selections emerge from lag constraints rather than energetic minimization.

This work shifts the conceptual foundation of physics from the dynamics of entities to the fixation of delayed relations, offering a unified syntactic basis for nonequilibrium phenomena, observation, and configurational stability.

LS-01｜Operational Detection of Lag in Nonequilibrium Phase Configurations
LS-01｜Operational Detection of Lag in Nonequilibrium Phase Configurations｜Cover Letter｜Figure｜Q&A

重力とエネルギーの lag 構文的再定義

— 有効重力の変分原理を起点として —

要約

重力とエネルギーは、しばしば物理的実体あるいは基本相互作用として扱われてきた。しかし本稿は、両者を関係更新の遅延（lag） というより基礎的な構文概念から再定義する。

近年、中川・佐々によって提案された「大域熱力学」は、重力と熱流が競合する非平衡定常状態において、相配置を一意に選択する変分原理を与え、両者を有効重力 $g_{\mathrm{eff}}$ という単一パラメータに統合した。本研究はこの成果を踏まえ、$g_{\mathrm{eff}}$ を「力の合成」ではなく、異なる起源をもつ lag 勾配の合成として再解釈する。

この観点では、重力は空間方向に固定化された lag の勾配であり、熱流は界面近傍における更新優先度を反転させうる別種の lag 勾配である。安定配置はエネルギー最小化の結果ではなく、lag が最も衝突せずに配置される構文的選択として現れる。液体が気体の上に安定して浮くという一見逆説的な現象は、熱流 lag が重力 lag を上書きする臨界点での構文反転として自然に理解される。

さらに、非平衡自由エネルギーが平衡形式を保ったまま $g \to g_{\mathrm{eff}}$ の置換で表されるという結果は、エネルギーが基本量ではなく、lag 固定の会計表現にすぎないことを示唆する。本稿は、重力・エネルギー・相転移を、実体論から構文論へと移行させる一貫した枠組みを提示し、非平衡物理における状態選択原理を lag 関係論として再配置する。

熱力学的な力と重力を統一した新たな概念「有効重力」の誕生―液体が宙に浮く現象を予言する新理論―
📃PDF 熱力学的な力と重力を統一した新たな概念「有効重力」の誕生―液体が宙に浮く現象を予言する新理論―
Naoko Nakagawa, Shin-ichi Sasa (2026). Thermodynamic Variational Principle Unifying Gravity and Heat Flow. Physical Review Letters, 136, 5, 057101.【DOI】https://doi.org/10.1103/bbqy-hptc

1. 問題設定

非平衡定常状態（NESS）において、重力と熱流が競合する場合、相配置の選択は局所平衡仮定や力学方程式のみからは一意に定まらない。
中川・佐々による大域熱力学は、この状態選択問題に対し、重力と熱流を統合する変分原理を与え、有効重力

\[g_{\mathrm{eff}} = g + \frac{\bar v}{m}\Big(\frac{dp_s}{dT}\Big)_{\tilde T}\frac{\Xi}{L}\]

によって安定配置が決定されることを示した。

本稿では、この結果を受け、重力およびエネルギーを力や保存量としてではなく、関係更新の遅延（lag）に基づく構文的効果として再定義する。

2. lag に基づく再解釈

2.1 重力の位置づけ

重力 $g$ は、空間方向に一様に与えられた外場ではなく、配置の更新を空間的に遅延させる lag 勾配として解釈される。

液体が下方に配置されるという通常の重力配置は、密度差そのものではなく、更新が最も遅延しにくい配置が選択された結果である。

2.2 熱流の位置づけ

温度勾配 $\Xi/L$ による熱流は、界面近傍において局所的な準安定状態を持続させる lag 勾配を生成する。

この lag は、重力による lag 勾配と同型に作用しうるため、両者は独立な駆動ではなく、合成可能な構文量となる。

3. 有効重力の lag 合成則

中川・佐々の結果は、次のように読み替えられる。

\[m g_{\mathrm{eff}} L = m g L - \bar v \Big(\frac{dp_s}{dT}\Big)_{\tilde T} \Xi\]

ここで右辺第1項は重力由来の lag-head、第2項は熱流由来の lag-headである。

安定相配置は、エネルギー最小化ではなく、合成された lag-head の符号によって選択される構文的帰結として定まる。

$g_{\mathrm{eff}} > 0$：重力 lag 優勢（液体は下）
$g_{\mathrm{eff}} < 0$：熱流 lag 優勢（液体は上）

4. 自由エネルギーの非解析性と構文反転

非平衡自由エネルギーは

\[F_g(\tilde T,V,N,mgL,\Xi) = F^{\mathrm{eq}}_g(\tilde T,V,N, m g_{\mathrm{eff}} L)\]

と書け、$|g_{\mathrm{eff}}|$ に依存する尖点（cusp）を持つ。

この非解析性は一次相転移に対応するが、lag 理論の立場ではこれは配置構文の反転点であり、連続変形ではなく更新順序の跳躍として理解される。

5. エネルギーの再配置

本枠組みにおいて、エネルギーは状態選択の原因ではない。
自由エネルギーは、lag による配置選択を記述するための集約的な帳簿表現にすぎない。

非平衡系においても平衡形式が保存されるという事実は、エネルギーが基本実体ではなく、lag 固定の結果として定義された量であることを示唆する。

6. 結論

重力と熱流は、互いに独立な駆動ではなく、異なる起源をもつ lag 勾配として統一的に記述可能である。
有効重力は力の代替量ではなく、相配置を選択する lag 構文の合成結果である。

本再解釈は、非平衡相転移・状態選択問題をエネルギー原理から lag 構文論へと再配置する基盤を与える。

定義節

Definitions: lag, lag-head, lag-gradient

本節では、本稿で用いる lag 構文に関する基本概念を定義する。これらは力学的実体や保存量を仮定せず、状態選択・配置決定を記述するための構文的量として導入される。

定義1（lag）

lag とは、系において 事象そのものではなく、事象間の関係更新が遅延することを指す。

lag は局所的な時間遅れではなく、
配置・相境界・状態間遷移の更新順序が非同時化される構造的遅延である。

したがって、lag は粒子や場に付随する属性ではなく、関係（relation）にのみ帰属する量である。

Event updates do not lag; relations do.

定義2（lag-head）

lag-head とは、系全体にわたって蓄積・合成された lag の配置決定能をもつスカラー量である。

lag-head は、次の特徴をもつ。

配置の安定性・相の上下関係を決定する
力やエネルギーとしてではなく、配置選好を与える構文量として機能する
異なる起源（重力、熱流など）をもつ lag を加法的に合成可能である

本稿で扱う液体–気体系においては、

\[\mathcal{H} \equiv m g L \quad \text{（重力由来 lag-head）}\] \[\mathcal{H}_T \equiv \bar v \Big(\frac{dp_s}{dT}\Big)_{\tilde T} \Xi \quad \text{（熱流由来 lag-head）}\]

が定義され、全 lag-head は

\[\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}=\mathcal{H}+\mathcal{H}_T\]

として与えられる。

定義3（lag-gradient）

lag-gradient とは、lag-head が空間方向に分布することによって生じる 配置更新の方向性（優先順序） である。

lag-gradient は以下を満たす。

力の向きではなく、更新が遅延しやすい方向を指定する
安定配置とは、lag-gradient に対して 最も衝突の少ない配置
相境界・密度差・浮沈配置は lag-gradient の符号と大きさによって決定される

重力加速度 $g$ は lag-gradient の一例であり、温度勾配 $\Xi/L$ も同型の lag-gradient を生成する。

定義4（有効 lag-gradient）

異なる起源をもつ lag-gradient が共存する場合、それらは合成され、有効 lag-gradient が定義される。

本稿ではこれを

\[g_{\mathrm{eff}} = g + \frac{\bar v}{m}\Big(\frac{dp_s}{dT}\Big)_{\tilde T}\frac{\Xi}{L}\]

と表し、有効重力と呼ぶ。

ただし本解釈において $g_{\mathrm{eff}}$ は力ではなく、

配置選択を司る lag-gradient の合成量

である。

補足（エネルギーとの関係）

lag 構文において、自由エネルギーやポテンシャルは lag-head による配置選択を記述するための 集約的表現である。

したがって、

エネルギーは lag の原因ではなく結果
保存則は lag 固定の痕跡

として再解釈される。

命題

Proposition: 安定配置は lag-head の符号で決まる

命題1（lag-head 選択原理）
非平衡定常状態における相配置は、エネルギー最小化によってではなく、合成された lag-head の符号によって一意に選択される。

すなわち、全 lag-head

\[\mathcal{H}_{\mathrm{tot}} = m g L - \bar v \Big(\frac{dp_s}{dT}\Big)_{\tilde T}\Xi\]

に対して、次が成り立つ。

$\mathcal{H}_{\mathrm{tot}} > 0$：
　重力由来 lag が優勢となり、高密度相（液体）は下部に安定配置される。
$\mathcal{H}_{\mathrm{tot}} < 0$：
　熱流由来 lag が優勢となり、高密度相は上部に安定配置される。

この選択は連続的な変形ではなく、$\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}=0$ において構文的反転（一次転移） として生じる。

系（Corollary）
非平衡自由エネルギーに現れる尖点（cusp）は、エネルギー的特異点ではなく、lag-head の符号反転に伴う配置構文の切替を表す。

SAW / R₀–Z₀ との接続

1. lag と SAW（Syntactic Askew Way）

SAW の基本仮定は、

観測・配置・理論は、常に「ずれた構文（askew syntax）」として立ち上がる

というものである。

lag-head による配置選択は、「ずれた更新順序が空間配置として固定化される過程」 であり、SAW における askew の物理的実装例と解釈できる。

同期的更新：平衡配置（SAW 非顕在）
非同期的更新：lag 発生（SAW 顕在）
lag-head 固定：構文の空間化（配置として観測）

2. R₀–Z₀ 構文との対応

本稿の枠組みは、R₀–Z₀ 構文に自然に写像される。

R₀（未分離生成場）
　熱流下で界面温度が平衡共存温度からずれる領域
　→ 相が未確定な lag 優勢領域
Z₀（最小構文化単位）
　相境界・上下配置・安定状態として固定された配置
　→ lag が更新不能となり、構文化された結果

lag-head は、R₀ 領域を Z₀ 配置へ押し出すための構文圧として機能する。

3. 一体・二体・多体との関係

一体問題：lag-head が自明（配置選択なし）
二体問題：lag-head が競合（重力 vs 熱）
多体問題：lag-head の分布と合成が非自明

本研究は、多体非平衡配置問題を lag 合成則で可視化した例である。

中川–佐々理論との一対一対応表

中川–佐々理論	lag 構文論での対応
重力 $g$	空間方向の lag-gradient
温度勾配 $\Xi/L$	界面更新を駆動する lag-gradient
有効重力 $g_{\mathrm{eff}}$	合成 lag-gradient
$m g_{\mathrm{eff}} L$	合成 lag-head
変分関数 $\mathcal{F}_g$	配置選択の lag 会計関数
自由エネルギー最小	lag-head 最小衝突配置
cusp 非解析性	lag 構文反転点
液体浮遊現象	熱 lag による構文優先度反転
NESS 選択原理	lag-head 符号選択原理

総括（ミニマル）

中川–佐々理論は、非平衡相配置が「力」ではなく「構文」で決まることを、変分原理として初めて明示した。

lag 構文論はこれをさらに一段下げ、

重力：lag の空間勾配
熱流：lag の更新駆動
エネルギー：lag 固定の帳簿

として統一的に再配置する。

命題の一般化

Proposition (Generalized): 多相・多成分系における lag-head 選択原理

命題2（一般化 lag-head 選択原理）
多相・多成分からなる非平衡定常系において、安定配置は、各成分・各相に固有の lag-gradient が空間的に合成された 総 lag-head の符号構造によって一意に選択される。

すなわち、成分 (i)、相 (\alpha) ごとに定義される lag-head

\[\mathcal{H}_{i,\alpha} = \mathcal{H}^{(g)}_{i,\alpha} + \mathcal{H}^{(T)}_{i,\alpha} + \mathcal{H}^{(\mu)}_{i,\alpha} +\cdots\]

の合成

\[\mathcal{H}_{\mathrm{tot}} \sum_{i,\alpha} \mathcal{H}_{i,\alpha}\]

が、配置の安定性を決定する。

ここで各項は、それぞれ

重力・加速・外場由来 lag
熱流・エネルギー輸送由来 lag
化学ポテンシャル差・反応由来 lag
拘束条件・境界条件由来 lag

を表す。

系（Corollary）

相数・成分数の増加は、自由度の増大ではなく lag-head 合成空間の次元拡張として現れる。
相分離・層構造・ドメイン形成は、エネルギー競合ではなく lag-gradient の競合配置である。
多体非平衡問題は、lag 合成の幾何学として定式化可能である。

Luttinger 理論・エントロピー重力との差分

1. Luttinger 理論との関係

Luttinger（1964）は、熱輸送を記述するために 仮想的な重力ポテンシャルをハミルトニアンに導入した。

熱流 ←→ 仮想重力場
輸送係数 ←→ 線形応答として計算

しかしこの枠組みでは：

重力は形式的装置
熱流は力学的に生成される現象

として扱われ、状態選択原理（どの NESS が実現するか） は与えられない。

これに対し本稿の立場では：

有効重力は仮定ではなく 変分原理から導出される lag-gradient
熱流は力学的生成物ではなく 配置選択に寄与する構文量

である。

したがって、Luttinger 理論は「熱を力に見立てる模型」であり、本枠組みは 熱と重力を lag 構文として同一階層に置く理論である。

2. エントロピー重力との相違

エントロピー重力では、

重力はエントロピー勾配に由来する
力は情報論的・統計的起源をもつ

とされる。

しかしこの立場では：

エントロピーが基本量として仮定される
配置選択は依然として「力」として表現される

本稿の lag 構文論では、

エントロピーは lag 固定の結果量
重力はエントロピー勾配ではなく 更新遅延の空間化

として位置づけられる。

すなわち、

エントロピー重力が「なぜ力が生じるか」を問うのに対し、lag 構文論は 「なぜその配置が選ばれるか」を問う。

宣言的結語

Toward a Physics with lag as the Fundamental Quantity

本稿は、重力・熱・エネルギー・相転移を、力学的実体や保存量から切り離し、関係更新の遅延（lag）という構文的基礎量へ還元した。

ここで提案される物理像は以下の通りである。

事象は遅れない。遅れるのは関係である。
重力とは、関係更新が空間的に固定化された lag である。
エネルギーとは、lag 固定を記述するための集約表現である。
安定配置とは、lag が最も衝突しない構文的帰結である。

この視点に立てば、非平衡定常状態における相配置選択は例外的現象ではなく、lag を基本量とする物理の自然な帰結となる。

本枠組みは、非平衡物理・多体問題・観測論・構文論を横断する 最小公理的基盤として機能しうる。

重力とは、更新が遅れた関係に付けられた名前であり、エネルギーとは、その遅延を記録した帳簿である。

lag を基本量とする物理

── 非平衡定常状態における配置選択の構文理論 ──

定理体系（Compressed Theorems & Lemmas)

公理（Axioms）

Axiom 1（Relation-lag Axiom）
遅延（lag）は事象に属さず、事象間の関係更新にのみ属する。

Axiom 2（Configurational Selection Axiom）
非平衡定常状態（NESS）における実現配置は、力学的時間発展ではなく、全体的な配置選択原理によって定まる。

Axiom 3（Additivity of lag-head）
互いに独立な起源をもつ lag は、配置選択能をもつlag-headとして加法的に合成される。

定義（Definitions）

Definition 1（lag-head）
系全体の配置選択を規定するスカラー量を lag-head $\mathcal{H}$ と呼ぶ。

Definition 2（lag-gradient）
空間方向に分布した lag-head により定義される、更新遅延の方向性を lag-gradient と呼ぶ。

補題（Lemmas）

Lemma 1（Equivalence of gravitational and thermal lag-gradients）
弱重力・線形応答領域において、重力起源の lag-gradient と熱流起源の lag-gradient は同型である。

Sketch of Proof.
重力項 $mgL$ と熱項 $\bar v (dp_s/dT)\Xi$ は、ともに配置変分関数に線形に寄与し、
同一の構文的位置（配置選択項）に現れる。∎

Lemma 2（Two-configuration stationarity）
二相系における配置変分関数は、「高密度相が下部」および「高密度相が上部」の 二つの停留解のみをもつ。

Sketch of Proof.
相体積・粒子数に関する変分方程式は、界面条件を満たす二解を許し、それ以外は不安定である。∎

定理（Theorems）

Theorem 1（lag-head Sign Selection Theorem）
二相・非平衡定常系において、安定配置は合成 lag-head $\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}$ の符号によって一意に決定される。

\[\mathcal{H}_{\mathrm{tot}} > 0 \Rightarrow \text{高密度相は下部に安定}\] \[\mathcal{H}_{\mathrm{tot}} < 0 \Rightarrow \text{高密度相は上部に安定}\]

Proof.
二つの停留解における配置変分値の差は

\[\Delta \mathcal{F} = 2\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}\Psi\]

に比例し、$\Psi>0$ のもとで符号は $\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}$ に一致する。∎

Theorem 2（Nonanalyticity Theorem）
$\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}=0$ において、NESS 自由エネルギーは非解析的（cusp）である。

Proof.
自由エネルギーは $|\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}|$ に依存し、符号反転点で一次の非解析性を示す。∎

Theorem 3（Form Invariance Theorem）
非平衡自由エネルギーは、平衡自由エネルギーの関数形を保ったまま $\mathcal{H}\to\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}$ の置換で表される。

\[F_{\mathrm{NESS}}(\tilde T,V,N;\mathcal{H}) = F_{\mathrm{eq}}(\tilde T,V,N;\mathcal{H}_{\mathrm{tot}})\]

Proof.
配置変分関数の最小値は、合成 lag-head のみを通じて現れるため。∎

系（Corollaries）

Corollary 1（Generalization to multicomponent systems）
多相・多成分系においても、安定配置は

\[\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}=\sum_{i,\alpha}\mathcal{H}_{i,\alpha}\]

の符号構造によって選択される。

Corollary 2（Energetic Demotion）
エネルギーおよび力は基本量ではなく、lag-head による配置選択を表現する派生量である。

注記（Remark）

本定理体系は、

力学方程式の詳細
局所平衡仮定
エントロピー生成率最小原理

に依存せず、配置選択の構文的基盤のみから導出される。

定理の具体化 I

図なしで読める最小例（Toy Model）

モデル設定（最小）
高さ $L$ の一次元セルに、二つの配置状態のみを許す二相系を考える。
状態は
$\sigma=+1$：高密度相が下部、
$\sigma=-1$：高密度相が上部、
の二値で表す。

lag-head を $\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}$ とし、配置選択関数（変分関数）を

\[\mathcal{F}(\sigma)= -\sigma\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}\]

と定義する。

結果

$\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}>0$ のとき、$\mathcal{F}$ は $\sigma=+1$ で最小
$\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}<0$ のとき、$\mathcal{F}$ は $\sigma=-1$ で最小

結論
安定配置は、動力学や遷移確率を導入せずとも、lag-head の符号だけで一意に決まる。

この toy model は、Theorem 1（lag-head Sign Selection）および Theorem 2（非解析性）を、最小の論理構造で再現する。

定理の具体化 II

量子・情報系への写像

lag 構文は、量子系および情報理論に自然に写像される。

量子系

配置状態 $\sigma$ ↔ 基底状態 $|0\rangle, |1\rangle$
lag-head $\mathcal{H}$ ↔ 有効バイアス項 $\hat H_{\mathrm{eff}} = -\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}\hat\sigma_z$

意味

エネルギー固有値は派生量
基底選択は lag-head（更新遅延構造）によって固定される
量子相転移点 ↔ $\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}=0$

したがって、量子安定状態は「最低エネルギー状態」ではなく、最も lag が衝突しない構文配置として再解釈される。

情報系

メッセージ状態 $x\in{0,1}$
lag-head ↔ 更新コスト（遅延コスト）
$C(x)= -x\mathcal{H}_{\mathrm{tot}}$

結果

最適符号化・最適推定は情報量最大化ではなく lag 最小化（更新衝突回避） として表現可能。

ここでエントロピーは、lag 固定後に定義される 二次的指標に退く。

定理の具体化 III

観測者（S/O）構文への還元

lag 理論は、観測者構文（S/O）に直接接続する。

対応

S（Subject）：更新を試みる側
O（Object）：更新が固定される側
lag：S→O の更新が追いつかない構文的遅延

観測の再定義

命題（Observational Reduction）
観測とは、S/O 間の lag が一定時間以上固定されたときに成立する 構文的安定状態である。

観測量＝lag が Z₀ として固定された痕跡
観測結果＝lag-head の符号が決めた配置

帰結

観測は瞬時事象ではない
観測値は実在の写像ではない
観測とは lag が耐えた結果の選択

これは

Event updates do not lag; relations do.

を、観測論まで完全に押し下げた形である。

総まとめ（最小）

Toy model：lag-head の符号だけで配置が決まる
量子・情報系：エネルギー／エントロピーは派生量
観測構文：観測とは lag 固定の構文現象

これにより、定理体系は 物理・情報・観測を貫く単一の lag 原理として閉じる。

物理とは、何が起きたかではなく、何が追いつかなかったかを記述する学である。

最終結語

本稿は、非平衡定常状態における相配置選択を起点として、重力・熱流・エネルギー・観測を、関係更新の遅延（lag）という単一の構文的基礎量へ還元した。重力は空間的に固定化された lag-gradient として、エネルギーは lag 固定を記述するための集約表現として再配置され、安定配置は力学的時間発展ではなく lag-head の符号によって選択されることが示された。この枠組みは、エネルギー原理やエントロピー生成に依存せず、配置・相転移・観測の成立条件を統一的に記述する最小基盤を与える。以上より、物理とは実体の運動を記述する学ではなく、更新が追いつかない関係がいかに固定されるかを記述する学であることが明確となる。本研究は、lag を基本量とする物理の可能性を提示し、非平衡物理・多体問題・観測論を横断する構文的統合理論への入口を与えるものである。

LS-01｜Operational Detection of Lag in Nonequilibrium Phase Configurations
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| Drafted Feb 7, 2026 · Web Feb 7, 2026 |