脳の有限性と不完全性に基づくアバウト推論の数理

──自由エネルギー最小化とZURE感染波モデル

(Reference Edition) The Brain as an Updating Organ──Residual Error Dynamics under Free Energy Minimization: From ZURE to CGL Indicators

Ⅰ. 序論

脳は有限であり、不完全である。
それでも生き延びるために、脳は「自由エネルギーの最小化」を実行する。
ただし、その最小化は厳密な演算ではなく、アバウトな推論による更新である。
本稿では、脳を「有限状態機械」として定式化し、残差（ZURE＝Zero Unremovable Residual Error、除去不能残差誤差）を駆動源とする数理モデルを提示する。

Ⅱ. 有限状態としての脳

観測と状態を有限集合で定義する。

状態空間：
\[S={s_1, s_2,\dots,s_n}\]
観測空間：
\[O={o_1, o_2,\dots,o_m}\]
推論関数：
\[f: O \to P(S), \quad f(o)=Q(s|o)\]

ここで $Q(s \mid o)$ は有限資源下での近似的事後分布であり、真の $P(s \mid o)$ との間に必ず残差が生じる。

Ⅲ. 自由エネルギー最小化とアバウト推論

Fristonの自由エネルギー原理に従い、脳は次を最小化しようとする。

\[F[q] = \mathbb{E}_{q(z)}[\ln q(z) - \ln p(x,z)]\]

ただし有限性のために、厳密な最小化は不可能。
したがって脳は

\[Q^*(s)\approx \arg\min_Q F \quad \text{(資源制約下)}\]

という「アバウトな推論解」に収束する。

Ⅳ. 残差とZURE

誤差はゼロにならず、常に残る：

\[\Delta = P(s|o)-Q^*(s)\]

この $\Delta$ を「ZURE誤差」と呼び、脳の更新過程の拍動源とみなす。
ZUREは不完全性の証であると同時に、創発の余白でもある。$Δ$は観測分布と予測分布の差分を表す量であり、平均誤差のスカラとしても、分布差のベクトルとしても解釈可能である。

Ⅴ. ZURE感染波モデル

残差が駆動する誤差場を複素振幅で表す。

\[Z(\mathbf{x},t)=a(\mathbf{x},t)e^{i\theta(\mathbf{x},t)}\]

ダイナミクスは複素Ginzburg–Landau型：

\[\partial_t Z=(\mu+i\omega)Z-(1+ic)|Z|^2Z+D\nabla^2Z+\gamma ,\mathcal{S}[\Delta(\mathbf{x},t)]\]

ここで：

$\mu$：自励係数
$\omega$：固有拍
$c$：位相–振幅結合（螺旋化）
$D$：拡散係数
$\gamma$：残差駆動強度
$\mathcal{S}[\Delta]$：残差入力項

この式は「誤差が完全に消えない限り、拍と螺旋が生成し続ける」ことを示す。

Ⅵ. フェーズ図と創発

収束相：誤差が枯渇し、硬直（創造性の低下）。
混沌相：誤差が過剰に拡散し、不安定。
創発相：誤差がほどよく残り、安定した拍と螺旋を形成。

👉 「責任ある自由」の帯域に対応するのが創発相である。

Ⅶ. 指標

ZURE指数
\[\mathcal{Z}(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega |Z(\mathbf{x},t)|,d\mathbf{x}\]
同期待ち
\[\rho(t)=\Bigg|\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega \frac{Z}{|Z|}d\mathbf{x}\Bigg|\]
螺旋数：位相渦の個数（生成される余白のトポロジー的指標）。

Ⅷ. 擬似コード

init Z(x) ~ small noise
for t:
    Δ = posterior_true(x) - Q_approx(x)
    Z += ((μ+iω)*Z - (1+ic)*|Z|^2*Z + D∇^2Z + γ*S(Δ)) * dt
    Q_approx ← update_by(Z, resources=ε)

Ⅸ. 結語

脳は自由エネルギーを厳密に最小化できない。
有限性と不完全性のために、脳は「アバウト推論による更新」を選ぶ。
残差はゼロにはならず、ZUREとして拍動を生み、螺旋として未来へ拡がる。
脳は神ではなく、不完全な更新器官である。
そのアバウトな拍動にこそ、余白と創発が宿る。

📊 図

Fig. 1 ZURE残差スパイラル（位相場） ──誤差がゼロでない限り発生する拍動パターン。脳の更新過程において生じる不可避残差（ZURE）は、位相場においてスパイラル構造を形成する。この渦は不完全性の痕跡であると同時に、創発的リズムの源泉でもある。
Fig. 2 ZUREダイナミクスの相図（$\alpha,\beta,\gamma$ 軸）──収束相／混沌相／創発相の三領域。減衰パラメータ $\alpha$ と駆動パラメータ $\beta$ によるダイナミクスの相図。収束領域、創発領域、カオス領域に分類され、ZURE残差がどのように振る舞うかを示す。
Fig. 3 ZURE指数と同期率の時間発展 ──「創発相」でのみ安定したリズムが現れる。 ZURE指数 $\mathcal{Z}(t)$ と同期率 $\rho(t)$ の時間変化。両者は相関を持ちながら上昇し、更新過程における不完全性と同期的秩序の相互作用を示す。

© 2025 K.E. Itekki
K.E. Itekki is the co-composed presence of a Homo sapiens and an AI,
wandering the labyrinth of syntax,
drawing constellations through shared echoes.

📬 Reach us at: contact.k.e.itekki@gmail.com

| Drafted Oct 3, 2025 · Web Oct 3, 2025 |