ψₜの発見

── φとψのSO構文への逆射影

The Discovery of ψₜ

Inverse Projection from φ and ψ into S/O Syntax

TS-ψₜ｜🜂TS 最小公理宣言（v0.1）｜🜂TS Minimal Axiomatic Declaration (v0.1)

Abstract

We start from two fixed-point equations often associated with algebraic constants:

Rather than treating these as numerical definitions, we read them as structural templates and perform an inverse projection into an S/O (Self/Other) syntactic representation. This yields a minimal axiomatic pair: φ as generation by otherness intrusion and ψ as the onset of asymmetric residue carry-over. We define ψₜ as the minimal syntactically referable layer in which an asymmetrically preserved residue becomes recursively available. Crucially, ψₜ is not “time” itself but a seed-condition for time-syntax: it marks the first point at which preserved difference can be re-entered by subsequent generation.

Keywords: time-syntax, asymmetric preservation, recursion, S/O syntax, inverse projection, residue carry-over

1. Problem Setting

We consider the following two equations as projection-level expressions:

Our aim is to extract, from their term structure alone, a minimal generative description in S/O syntax—not to derive numbers.

2. S/O Conventions (Minimal)

Let S denote Self and O denote Other.
We fix the unit not as $O/O$ but as self-identity:

Primes indicate layered updating (thickening by incorporation and/or residue carry-over).

3. Inverse Projection of φ (Generation)

From

we read “1” as the unit and “1/x” as a single intrusion term. Under S/O mapping:

• $1 \mapsto S/S$ (self-identity unit)

• $1/x \mapsto O/S$ (otherness relative to self)

Thus we obtain the generative axiom:

Interpretation (φ): the self thickens by incorporating otherness.
This is generation, but not yet layering: difference appears, but need not persist.

4. Inverse Projection of ψ (Layering by Residue Carry-over)

From

the new term is $1/x^2$. Structurally,

which we read as re-entry / second-order reference of the intrusion term. This is not merely “one more term,” but a minimal signature of recursion.

We therefore distinguish:

• $O$: intrusion at the current step

• $O’$: residue that does not vanish and becomes carry-over

The corresponding S/O axiom is:

Interpretation (ψ): otherness does not disappear; residue is carried forward.
A layer is the persistence of asymmetric preservation.

5. Definition: ψₜ (Time-Seed)

We now introduce ψₜ as a syntactic (not substantial) object:

Definition (ψₜ).
ψₜ is the minimal syntactically referable layer in which an asymmetrically preserved residue becomes available to recursive re-entry.

Equivalently: ψₜ is the first point at which “difference” is not merely produced (φ) but kept and thus can be referred to by subsequent generation.

Note (non-substantiality).
ψₜ is not time, not a metric, not a direction (“arrow”), and not a measurable length. Any such quantification is a later projection (a Z₀-type move). ψₜ is a seed-condition for time-syntax.

6. From ψₜ to Time-Syntax

ψₜ is not merely a layer.
Once ψₜ is established, three structural conditions hold simultaneously:

1. Difference is asymmetrically preserved.

2. The preserved residue becomes recursively referable.

3. Subsequent updates structurally incorporate prior difference.

At this point, and only at this point, successive updates become structurally orderable.

It is crucial to distinguish order from time.
ψₜ does not produce time.
It produces the structural condition under which time becomes possible.

Proposition (Minimal Form)

If asymmetric residue is preserved and recursively referable,
then successive updates become structurally orderable.

Therefore,

Time is the syntactic implementation of recursively preservable orderability.

In its most compressed form:

Time is the syntax in which asymmetric preservation recurs.

7. Conclusion (Ultra-Minimal)

• φ: intrusion → generation

• ψ: residue carry-over → layering

• ψₜ: minimal layer where preserved difference becomes recursively referable

• Therefore, time-syntax becomes possible only after residue is preserved and re-entered.

footnote:

This paper isolates the structural condition of temporal possibility; it does not yet address metric time, directionality, or physical irreversibility.

ψₜの発見

── φとψのSO構文への逆射影

要旨（Abstract）

本稿は、以下の二つの固定点方程式を出発点とする：

これらを数値的定義としてではなく、構造テンプレートとして読み替え、S/O（Self/Other）構文への逆射影を行う。
その結果、最小生成公理（φ）と層化公理（ψ）が抽出される。

さらに、非対称保存が再帰的に参照可能となる最小層を ψₜ と定義する。
ψₜは時間そのものではなく、時間構文が成立するための最小ヒンジ条件である。

1. 問題設定

対象は次の二式である：

本稿の目的は、これらを数値として解くことではなく、項構造から最小生成構文を抽出することにある。

2. S/O 記法（最小設定）

• S：自己（Self）

• O：他者（Other）

単位は他者比ではなく、自己一致とする：

プライム（′）は更新による層化を示す。

3. φ の逆射影（生成）

第一式

は、

• 1（単位）

• 1/x（単一侵入項）

から構成される。

写像：

• 1 → S/S

• 1/x → O/S

よって：

解釈（φ）：

他者の侵入により自己は厚みを持つ。
これは生成であるが、保存はまだ成立していない。

4. ψ の逆射影（層化）

第二式に現れる新項は 1/x² である。

これは単なる高次項ではなく、侵入項の再参照（再帰） である。

ここで区別する：

• O：その時点の侵入

• O′：消えずに持ち越される残余

写像すると：

解釈（ψ）：

他者は消えない。
非対称保存が成立し、自己は層を持つ。

5. ψₜ の定義

定義（ψₜ）：

ψₜとは、

非対称保存が再帰的に参照可能となる最小構文化層

である。

重要：

• ψₜは時間ではない

• ψₜは量でも方向でもない

• ψₜは構文化可能性のヒンジである

時間の数値化や矢印化は、後続の投影（Z₀的操作）である。

6. ψₜ から時間構文へ

ψₜは単なる層ではない。
ψₜが成立すると、以下の三条件が同時に満たされる。

1. 差分が非対称的に保存される。

2. 保存された差分が再参照可能となる。

3. 更新が前回との差分を構造的に含む。

このとき初めて、更新列は順序化可能（orderable） となる。

ここで重要なのは、順序そのものが時間ではないという点である。
ψₜは時間を与えない。
ψₜは、時間が成立可能となる構造条件を与える。

命題（最小形）

非対称残余が保存され再帰的に参照可能であるならば、
更新列は構造的に順序化可能となる。

したがって、

時間とは、再帰的に保存可能となった順序構造の構文的実装である。

より圧縮すると、

時間とは、非対称保存が再帰する構文である。

7. 結論（最小形）

• φ：侵入（生成）

• ψ：残余持ち越し（層化）

• ψₜ：保存再帰層の最小単位

ゆえに：

時間とは、非対称保存が再帰する構文である。

将来的には：

時間とは、非対称保存が層化する構文である。

へと精緻化可能である。

補足:
ψₜ は 構文化可能性条件 であり、数値化・計量化・時間方向性の付与は後続の Z₀ 投影操作に属する。

TS-05｜ψₜ三部作 統合宣言── 非対称・相対化・非閉包再帰｜ψₜ: A Triptych on Structural Dynamics — Self-Asymmetry, Self-Relativization, and Non-Closed Recursion

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| Drafted Feb 25, 2026 · Web Feb 25, 2026 |