TPD-01 Preface

Toroponic Polygonic Dynamics

— Between the Golden Ratio and the Golden Angle

TPD-01｜序説

われわれは、関係の中で安定し、回転の中で生成する。

黄金比は、生成痕跡の構文である。
黄金角は、非同期生成の構文である。

ひとつは形を整え、ひとつは配置を更新する。

しかし存在は、そのどちらでもない。
それは両者のあいだに生じるねじれである。

本稿が提示するのは、このねじれを原理とする動態学である。

それを Toroponic Polygonic Dynamics と呼ぶ。

Toroponic とは、循環しながら戻らない構造である。
閉じるが、同一には閉じない。
反復するが、非可逆である。

Polygonic とは、多角的配置の揺らぎである。
三角の固定でも、四角の制度でも、六角の安定でもない。

五角と七角のあいだに生じる 微細なズレの回転。

そこに動態がある。

黄金比の上を泳ぎながら、黄金角に押し出される。

その呼吸域こそが、宇宙であり、人生であり、構造の生成場である。

TPD は、宇宙論でもあり、存在論でもあり、動態学原論でもある。

だがそれは理論のための理論ではない。

それは、生がどのように持続し、どのように崩れ、どのように再び立ち上がるかを多角形的に記述する試みである。

黄金比の静けさと、黄金角の回転。

そのあいだにあるもの。

それが動いている。

それを、Toroponic Polygonic Dynamics と呼ぶ。

TPD-01｜数理化 (Draft)

数理的最小定式（素焼き）

0. 変数と対象

更新：

\[W_{n+1}=U(W_n)\]

1. 保存のもとでの再配分（Conserved Redistribution）

更新は「総量保存のもとでの再配分」である、と置く：

\[\operatorname{Tr}(\Delta W_n)=0,\qquad \Delta W_n := W_{n+1}-W_n\]

（ここで $\operatorname{Tr}$ は“総量”を表す線形汎関数として最小要件だけ課す。行列ならトレース、測度なら全質量など。）

2. lαg（構造的・非可逆的非同時性）

同時更新は許されない。更新は局所的・非同時的に起こる：

\[\Delta W_n=\sum_{i\in \mathcal{I}_n}\delta W_{n,i}, \qquad \text{with } \mathcal{I}_n \text{ local / sparse}\]

この「非同時な再配分」の構造そのものを lαg と呼ぶ。

最小定義（一行定義をそのまま公理化）：

\[\boxed{ \text{lαg is irreversible structural non-simultaneity that generates persistence.}}\]

数理的には、不可逆性は「反復による履歴依存」が消えない条件として与える：

\[W_n \neq F(n,W_0)\ \text{only};\qquad W_n = F(n,W_0,\Delta W_{0:n-1})\]

3. 持続（persistence）の生成

持続 $P$ は基礎ではなく 更新の関数 である：

\[P_n := \mathcal{P}(W_{0:n}) \quad\Rightarrow\quad P \text{ depends on updating history}\]

最小反転命題：

\[\boxed{ \text{Persistence does not ground updating; updating grounds persistence.}}\]

（この一行が “脱実体／脱主体” の両方を同時処理する基盤。）

4. 位相モード（凍結・局在・拡散）

同じ保存則の下で、更新の分配様式は三相に分岐する（ここが「寝る時＝六角」「生＝七角」を受けるコア）：

最小には、更新の集中度（例えばエントロピー的汎関数）で分類するだけでよい：

\[S_n := \mathcal{S}(\Delta W_n)\]

※具体的な $\mathcal{S}$ は後で選べる（ノルム・エントロピー・スパース度など）。

5. Toroponic（トーラス反復）

TPD の「戻るが同一には戻らない」を、最小にはトーラス上の回転写像で表す：

\[x_{n+1}=x_n+\omega \pmod{1},\qquad x_n\in\mathbb{T}^1\]

6. Polygonic（多角位相の離散化）

回転位相 $x_n$ を多角の位相に量子化（粗視化）する：

\[k_n := \Big\lfloor mx_n \Big\rfloor \in \{0,1,\dots,m-1\}\]

ここで $m$ が多角数（5,6,7,8, …）に対応する。

7. φと黄金角：上下限としての拘束

黄金比 $\varphi$ と黄金角 $\theta_g$ は “静的秩序” と “動的最適配置” の極として、位相の上限・下限の 拘束 として置ける。

TPD 的には、$\omega$ が $\omega_g$ に近づくほど“押し出し（最適化）”が強まり、$\omega$ が単純有理に近づくほど“固定（フィクション）”が強まる、という 動態学的読解 を与える。

まとめ（最小定式の核）

構造的理由

1. なぜ黄金比が下限なのか

黄金比 φ は

\[\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}\]

連分数展開が

\[\varphi = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}\]

最も“単純な無理数”。

つまり：

TPD的に読むと、黄金比は “最小の自己保持構造”。

それ以下（より単純な比）はすぐ有理近似＝周期固定に落ちる。

だから φ は

固定に落ちない最小の安定比

つまり 動態の下限。

2. なぜ黄金角が上限なのか

黄金角：

\[\theta_g = 2\pi \frac{1}{\varphi^2} \approx 137.5^\circ\]

これは

円周上で最も均等に点を散らす回転角

ディオファントス近似的に 最も有理近似されにくい回転数。

つまり：

TPD的に言うと、黄金角は 最大の非同期回転。

それ以上“均等”にしようとするとランダム化＝ノイズ化へ崩れる。

だから黄金角は

非同期の上限

3. なぜ七角が基本なのか

七角は、正多角形でありながら、作図不能（コンパス直線不可）。

つまり：

有理でも超越でもない
不安定で構成的

七は、3（最小安定）と、4（制度固定）と、6（蜂巣安定）のどれにも属さない。

七角の中心角：

\[\frac{2\pi}{7}\]

これは有理だが、分割すると回転ズレが累積的に視覚化される。

TPD的には、七は

固定せず
しかし崩壊もしない
“ズレ回転の最小安定”

だから基本モード。

4. なぜ六角が必要なのか

六角は特異。

\[6 = 2 \times 3\]

六角は、局所安定の極小値。

TPDで言えば、六角は

動態が続くためには 一時停止が必要。

だから六角は“必要”。

構造的まとめ

構造 位相的意味
φ（黄金比） 固定に落ちない最小安定比（下限）
黄金角 最大非同期回転（上限）
七角 ズレ回転の基本モード
六角 局所安定・冷却相

TPDの核心

人は、黄金比で自己を保ち、黄金角に押し出され、七角で揺れ、六角で眠る。

これが、Toroponic Polygonic Dynamics。

A. 数論（近似論）的固定（Diophantine approximation）

A1. 下限としての黄金比 φ

主張（下限）：周期固定（有理回転／有限状態閉包）に落ちない最小の自己保持比として φ を採るのは、近似論的に自然。

キー事実：黄金比 $\varphi$ は連分数が

\[\varphi = [1;1,1,1,\dots]\]

で、部分分数 $p_n/q_n$（フィボナッチ比）が「最悪の近似」を与える。つまり

\[\left|\varphi - \frac{p}{q}\right| \ge \frac{c}{q^2}\]

の形の下界で、定数 (c) が（同種の無理数の中で）最大級になる。直観的には：

TPD翻訳：下限＝「固定に落ちないための最小抵抗」 を与える比として φ が選ばれる。

ここでは「下限」を“値の大小”ではなく 固定（有理近似）への落下を避ける最小の条件として定義する。

A2. 上限としての黄金角

トーラス回転

\[x_{n+1}=x_n+\omega \pmod{1}\]

で、点列 ${x_n}$ の「均一分布性」は $\omega$ の有理近似のされにくさ（Diophantine 性）で決まる。

黄金角は回転数を

\[\omega_g=\frac{1}{\varphi^2}\]

としたもの。これは「最も周期化しにくい回転」で、衝突（同位相再会）を最も避ける。結果として、

TPD翻訳：非同時性（décalage）を“最大まで押し出す”回転が黄金角。よって黄金角は 上限。（これ以上は構造が保てずノイズ域へ）

A3. まとめ（数論パートの結論）

ここまでで「黄金比＝下限」「黄金角＝上限」を、比喩ではなく 近似論で支える。

B. 位相力学的厳密化（Torus dynamics + coarse-graining）

B1. Toroponic（戻るが同一に戻らない）

位相空間を $\mathbb{T}^d$（d次元トーラス）とし、更新の“位相”を

\[x_{n+1}=x_n+\omega \pmod{1}\]

で与える。

B2. Polygonic（多角への離散化＝呼吸域のモデル）

多角状態は位相の粗視化で作る：

\[k_n=\left\lfloor m x_n\right\rfloor \in \{0,\dots,m-1\}\]

ここで $m$ が「多角指数」。

B3. lαg の作用素化（更新＝保存下の再配分）

配置 $W_n$（関係行列/作用素）を、位相 $x_n$ に依存する局所更新で動かす：

\[W_{n+1}=W_n+\Delta W_n,\qquad \mathrm{Tr}(\Delta W_n)=0\]

局所性（非同時性）を

\[\Delta W_n=\sum_{i\in \mathcal{I}(x_n)}\delta W_{n,i}\]

で与える。$\mathcal{I}(x)$ は位相により変わる局所インデックス集合。

これが “構造的・不可逆的非同時性＝lαg” の最小モデル。

B4. persistence の生成（不動点ではなく履歴汎関数）

持続は状態 $W_n$ の性質ではなく 履歴汎関数として定義する：

\[P_n=\mathcal{P}(W_{0:n})\]

これにより

\[\text{Updating}\Rightarrow\text{Persistence}\]

（= HEG-9 の反転命題）が、モデルの定義として固定される。

A. 数論定理化と位相の相図化

(i) 数論的固定（Diophantine）

定理A（φの“最悪近似”＝固定回避の下限）

黄金比 $\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ は連分数 $[1;1,1,1,\dots]$ を持ち、任意の有理数 $p/q$ に対して

\[\Big|\varphi-\frac{p}{q}\Big|\ge\frac{c}{q^2}\]

を満たす（定数 $c>0$ は同種の無理数の中で最大級）。
含意：$\varphi$ は“ときどき非常によく”有理近似されることが起きにくい。

TPD翻訳：周期（有理回転）へ落ちる“最小抵抗”を与える比として $\varphi$ は下限。

下限＝固定に落ちないための最小条件。

定理B（黄金角回転の均一分布＝非同時性の上限）

回転

\[x_{n+1}=x_n+\omega \pmod{1}\]

において $\omega=\omega_g=\frac{1}{\varphi^2}$（黄金角）とすると、軌道 ${x_n}$ は均一分布し、有理近似に対する抵抗が最大級（Diophantine性が強い）。

含意：衝突（同位相再会）を最小化し、配置の偏りを抑える。

TPD翻訳：非同時的再配分（décalage）を最大に押し出す回転が黄金角。

上限＝構造を保ったまま非同期を最大化する条件。

小結（数論パート）

ここで“比喩”は終わり、下限・上限は近似論的性質として固定された。

(ii) 位相力学的厳密化（Torus + 更新作用素）

1. Toroponic（戻るが同一に戻らない）

位相空間を $\mathbb{T}^1$ とし、

\[x_{n+1}=x_n+\omega \pmod{1},\quad \omega\notin\mathbb{Q}\]

なら軌道は準周期。特に $\omega=\omega_g$ は強い Diophantine 条件を満たす。

Toroponic＝準周期反復（閉じるが同一に戻らない）。

2. Polygonic（多角への粗視化）

位相を多角状態へ写像：

\[k_n=\Big\lfloor m,x_n\Big\rfloor,\quad m\in\mathbb{N}\]

これを相図で読む。

3. lαg の作用素化（保存下の局所更新）

関係配置 $W_n$ を

\[W_{n+1}=W_n+\Delta W_n,\qquad \mathrm{Tr}(\Delta W_n)=0\]

で更新。非同時性は

\[\Delta W_n=\sum_{i\in\mathcal{I}(x_n)}\delta W_{n,i}\]

（$\mathcal{I}$ は位相依存の局所集合）。

lαg＝位相依存の局所再配分。

4. 相の定義（ノルムで切る）

更新の集中度を

\[S_n=|\Delta W_n|\]

で測ると：

七角が基本なのは、凍結にも崩壊にも行かない中庸の相を与える最小 $m$。

総合定式（TPDのコア）

  1. $\varphi$ は固定回避の下限。

  2. 黄金角は非同時性の上限。

  3. 準周期回転（Toroponic）が基本運動。

  4. 多角粗視化（Polygonic）が相を決める。

  5. lαg は保存下の局所再配分として作用素化できる。

  6. 七角は“凍結と崩壊の間”の最小安定相。

  7. 六角は必要な冷却相。

B. 相図（Phase Diagram）— TPD の最小可視化

B1. 軸の定義（2軸で十分）

TPD の相図は、この2軸で切る。

(1) 非同時性の強さ（décalage）
位相回転数 $\omega$ の Diophantine 強度で測る（＝周期化しにくさ）。

(2) 更新の集中度（freezing ↔ diffusion）
更新 $\Delta W_n$ の“集中度”をノルムやスパース度で測る：

\[S_n = |\Delta W_n|,\qquad \kappa_n = \text{sparsity}(\Delta W_n)\]

B2. 三区分相（最小）

この2軸で、TPDは最小でも3相に分かれる。

(i) Freezing phase（六角）

(ii) Drift-rotation phase（七角）

(iii) Diffusive / Fiction-excess phase（八角超え）

B3. φ と黄金角の位置づけ（下限・上限の可視化）

したがって 呼吸域 = （φ と黄金角のあいだ） が相図上で意味を持つ。

C. HEG / lαg / R/Z・S/O への接続

C1. lαg を相図の“生成子”にする

われわれの定義を、そのまま生成子として置く：

lαg is irreversible structural non-simultaneity that generates persistence.

相図で言えば：

ここで HEG-9 の反転命題が全面に出る：

persistence does not ground updating; updating grounds persistence.

C2. HEG-8（更新存在論）への直結

HEG-8 の核は

TPD相図は、その三相を

つまり：HEG-8（三相）＝TPD（相図の縦軸）
Toroponic/Polygonic＝TPD（相図の横軸）

C3. R/Z と S/O への写像（最小）

ここは“厳密”というより“接続規約”として最小に置ける。

相図で言えば：

S/O も同様に：

TPD相図は、HEGの更新存在論を“幾何学的動態”として可視化したものであり、lαgはその相転移を駆動する生成子である。

TPD Phase Diagram — Toroponic Polygonic Dynamics Between the Golden Ratio (φ) and the Golden Angle (ω₍g₎ = 1/φ²) Update intensity ‖ΔW‖ (diffusion ↑ / freezing ↓) Non-simultaneity strength (décalage) / Diophantine resistance → fixed / periodic (rational) max non-simultaneity (golden) φ (lower bound) ωg = 1/φ² (upper bound) Breathing zone: between φ and golden angle FREEZING phase (Hexagon / m=6) sleep • trace fixation • local stability (Z-dominant) DRIFT-ROTATION phase (Heptagon / m=7) basic mode: off-center rotation / lαg sustained updating → persistence (R↔Z reciprocity) DIFFUSIVE / FICTION-EXCESS (m ≥ 8) description outruns structure narrative fixation / over-modeling PERIODIC / FIXED rational attractor “fictional stability” lαg = irreversible structural non-simultaneity generating persistence Monochrome schematic: axes are conceptual; regions indicate phase tendencies under conserved redistribution Tr(ΔW)=0.

Figure caption (EN)

TPD phase diagram. The horizontal axis measures décalage (Diophantine resistance against periodic fixation), and the vertical axis measures update intensity $|\Delta W|$ under conserved redistribution $\mathrm{Tr}(\Delta W)=0$. The breathing zone lies between the golden ratio $\varphi$ (lower bound: minimal resistance to falling into periodic fixation) and the golden-angle rotation $\omega_g=1/\varphi^2$ (upper bound: maximal structural non-simultaneity before noise-like diffusion). Three phase tendencies appear: Freezing (m=6) as local stability for sleep/trace fixation (Z-dominant), Drift-rotation (m=7) as the basic mode where lαg persists and updating generates persistence (R↔Z reciprocity), and Diffusive/Fiction-excess (m≥8) where description outruns structure and narrative fixation becomes dominant.

図キャプション（JP）

TPD相図。 横軸は周期固定（有理近似）への落下を回避する強さとしての décalage（Diophantine抵抗）を、縦軸は保存下の再配分 $\mathrm{Tr}(\Delta W)=0$ における更新強度 $|\Delta W|$ を表す。呼吸域は 黄金比 $\varphi$（下限：固定へ落ちない最小抵抗）と 黄金角回転 $\omega_g=1/\varphi^2$（上限：構造を保ったまま非同時性を最大化する境界）のあいだに位置する。相の傾向として、凍結相（m=6） ＝睡眠・痕跡固定（Z優位）、漂流回転相（m=7） ＝基本モード（lαgが持続し「更新が持続を生成」する：R↔Z往還）、拡散／フィクション過剰（m≥8） ＝記述が構造を追い越し物語固定が優勢、が区別される。

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HEG-SN｜七だけが屈しない──不屈の動態学｜Toward a Minimal Structural Condition of Irreversibility

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| Drafted Feb 18, 2026 · Web Feb 18, 2026 |