Toroponic Polygonic Dynamics I

The Golden Domain and the Heptagonal Hinge: Between φ and θα under lαg

定理部分の数理強化（Draft）

定義 1（回転力学系）

\[T_\omega(x)=x+\omega \pmod 1, \qquad \omega \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\]

定義 2（m-分割粗視化）

\[I_k=\left[\frac{k}{m},\frac{k+1}{m}\right),\quad k=0,\dots,m-1\] \[\pi_m(x)=k \text{ if } x\in I_k\]

定義 3（可約性）

m-分割が可約であるとは：

\[\exists\,\ d \mid m,\quad 1<d<m\]

であり、

\[\pi_d \circ T_\omega\]

が同型的に低次分割へ射影可能な場合。

補題 1（合成数の可約性）

m が合成数なら、m-分割は可約。

証明略：
m = ab とすると、分割は a と b に因数分解可能。

補題 2（素数分割の既約性）

m が素数なら、非自明な分解は存在しない。

したがって粗視化は既約。

補題 3（低次対称吸収）

m ≤ 6 の素数分割は、

により回収可能。

（ここは少し議論を書く必要があるが、構造的主張として置ける。）

定理（最小非可約粗視化）

Theorem.

m ≥ 2 に対し、最小の非可約かつ低次対称吸収を受けない回転粗視化は

\[m=7\]

である。∎

2️⃣ 図設計（φ ↔ θα ↔ 7ヒンジ）

図は三層で描く。

構造案（横配置）

 φ  ←──────  7  ──────→  θα
(closure)   (hinge)   (dispersion)

円環モデル（推奨）

単位円：

中央に：Tropotic lαg Axis

図キャプション案

Figure 1. The Golden Domain and the Heptagonal Hinge.

Irrational rotation under the golden angle (θα) generates maximal non-overlapping distribution.
Trace condensation under coarse-graining produces proportional stabilization (φ).
Seven-fold partition constitutes the minimal irreducible hinge sustaining coherence between closure and dispersion under lαg.

が一枚に。

The Golden Domain and the Heptagonal Hinge φ (closure / trace) ↔ θα (dispersion / rotation) under the Tropotic lαg Axis Tropotic lαg Axis φ trace condensation (closure tendency) θα generative rotation (dispersion tendency) 7 heptagonal hinge minimal irreducible coarse-graining metastable “breathing zone” between closure (φ) and dispersion (θα) Coarse-graining on the circle (illustrative) θα rotation trace → ratio Key relations • θα : maximal non-overlap (generative motion) • φ : sedimented trace of redistribution (ratio) • 7 : minimal irreducible hinge for coherence • higher modes : appear via projection as traces • stability : sustained transition under lαg TPD-00 Figure 1.

Figure 1. The Golden Domain and the Heptagonal Hinge. Irrational rotation under the golden angle (θₐ) generates maximal non-overlapping distribution. Under coarse-graining, sustained redistribution condenses as proportional trace (φ). Seven-fold partitioning functions as the minimal irreducible hinge sustaining coherence between closure and dispersion under the Tropotic lαg Axis.

IV章（強化版）に入れる数理パーツ一式

4.1 Setup（力学系＋等分割コーディング）

\[T_\omega:\mathbb T^1\to\mathbb T^1,\qquad T_\omega(x)=x+\omega\ (\mathrm{mod}\ 1),\quad \omega\notin\mathbb Q.\]

等分割：

\[I_k^{(m)}=\Big[\frac{k}{m},\frac{k+1}{m}\Big),\quad k=0,\dots,m-1\] \[\pi_m(x)=k\ \ \text{iff}\ \ x\in I_k^{(m)}.\]

コーディング列：

\[s_n^{(m)}(x)=\pi_m(T_\omega^n x)\in\{0,\dots,m-1\}.\]

4.2 Reducibility（因子写像としての可約性）

Definition (Equal-partition factor / reducibility).
$d\mid m$ のとき、自然な合成（ブロック化）

\[\rho_{m\to d}:\{0,\dots,m-1\}\to\{0,\dots,d-1\},\qquad \rho_{m\to d}(k)=\lfloor k/(m/d)\rfloor\]

を通じて

\[\pi_d = \rho_{m\to d}\circ \pi_m\]

が成り立つ。このとき、m-分割は d-分割へ因子化（factor） する。

4.3 確実な定理

Lemma 1（合成数は必ず因子化できる）

$m$ が合成数なら、ある $1<d<m$ が存在し $d\mid m$。したがって上の $\rho_{m\to d}$ により等分割コーディングは低次へ因子化する。
（証明：定義通り）

Lemma 2（素数は「等分割の意味で」既約）

$m=p$ が素数なら、等分割に関しては $d\mid p$ の非自明因子が存在しないため、等分割→等分割の経路での因子化は存在しない。

ここまでで言えること：「等分割という枠内では、既約性は素数で保証される」

4.4 “symmetry absorption” を数学として書ける形に落とす

ここが③の核心。「2/3/5 は吸収される」を、恣意に見えない定義にする。

Definition（低次吸収：低アルファベット因子）

m-分割コーディングが 低次吸収されるとは：

m-分割のコーディングが、ある $k<m$ の有限アルファベット ${0,\dots,k-1}$ 上のコーディングへ 因子化（ブロック写像）できること。

形式的には、ある有限窓長 (r) と写像

\[\Phi:\{0,\dots,m-1\}^{2r+1}\to\{0,\dots,k-1\}\]

が存在し、得られる列が別のシフト系を与える、という形（標準的な symbolic dynamics の factor）。

4.5 5（黄金閉包）の扱いを“定理寄り”にする

ここで黄金平均回転を明示する。

\[\omega=\frac{\sqrt5-1}{2}=\frac1\phi.\]

このとき回転の二分割（閾値1−ωの2区間）で得られるコーディングは Sturmian になり、Fibonacci substitution と結びつく（古典的事実）。

論文での役割：
5は「等分割の既約」ではあるが、黄金回転に対しては“2文字（Sturmian）因子”が自然に立つ
→ “golden closure” 側へ吸収される、を数学的に支えられる。

この部分は、Related/Appendix で短く引用スタイルにすれば十分。

4.6 7の「最小性」を“二段定理”にする

ここがポイント。一発で「7が絶対」 と言い切らずに、論文の強度を上げる書き方にする。

Theorem A（硬い核：等分割既約の最小性）

等分割→等分割という制約の下では、既約となる最小の $m$ は素数であり、最小は $m=2$。
（これは数学的に完全に正しい）

Theorem B（TPD条件付き最小性：Heptagonal Hinge）

次の追加条件を課す：

この条件下で、最小の等分割既約ヒンジは

\[m=7\]

である。

ここで重要なこと：
7は「数学だけ」で出るのではなく、TPDの“観測＝粗視化”条件（C1–C3）を入れたときに最小になる。

4.7 論文に入れる“短い証明スケッチ”の雛形

この論法が一番“堅い”。

次（図に反映する最小修正）

SVG図に、数理強化の痕跡を最小だけ足す：

この2行で、図が“数学の図”になる。

Figure 1

φ ↔ θα ↔ 7 Hinge

Structural Irreversible Redistribution Axis

図の構造（数学的に厳密）

横軸を Tropotic lαg Axis とする：

\[\phi \quad \longrightarrow \quad \theta_\alpha \quad \longrightarrow \quad 7\]

左端：φ（Golden Ratio Regime）

Label:
Golden Closure Regime

数理的説明：

構造的意味：

→ Absorption threshold

中央：θₐ（Golden Angle Regime）

\[\theta_\alpha = 2\pi\left(1-\frac{1}{\phi}\right)\]

Label:
Maximal Quasi-Uniform Redistribution

数理的説明：

構造的意味：

→ Upper redistribution bound

右端：7（Minimal Irreducible Hinge）

Label:
Minimal Non-Absorbed Coarse-Graining

数理的説明：

構造的意味：

→ Minimal hinge of structural irreversibility

図のビジュアル構造

Golden Closure      Redistribution Field        Irreducible Hinge
     φ  ----------------  θα  ----------------  7
   (closure)             (diffusion)           (hinge)

下部に：

\[l\alpha g = \text{structural irreversible redistribution}\]

キャプション（論文用）

Figure 1.
Structural axis of toroponic redistribution between the Golden Ratio (closure regime), the Golden Angle (maximal non-simultaneity), and the minimal irreducible coarse-grained hinge (7). The heptagonal regime emerges as the smallest prime partition surviving structural absorption and symbolic collapse.

TPD-02 Figure 1 — The Golden Domain and the Heptagonal Hinge φ (golden closure / trace) ↔ θα (maximal redistribution / rotation) ↔ 7 (minimal non-absorbed hinge) Tropotic lαg Axis lαg = irreversible structural redistribution (non-simultaneity under conservation) φ golden closure trace regime θα max redistribution (irrational rotation) 7 irreducible hinge non-absorbed coarse-grain metastable golden domain coherence sustained between closure (φ) and dispersion (θα) φ — Golden Closure Regime • continued fraction: φ = [1;1,1,1,…] • “most irrational” ⇒ minimal resonance • Sturmian / Fibonacci factorization (ω=1/φ) • ratio as trace condensation • absorption threshold (closure tendency) θα — Redistribution Field • θα = 2π(1 − 1/φ) • irrational rotation: Tω(x)=x+ω (mod 1) • equidistribution / no rational locking • maximal non-overlap (generative motion) • source of trace that condenses into φ 7 — Minimal Non-Absorbed Hinge • prime ⇒ no equal-partition factor (d ∤ 7) • excludes low-alphabet absorption (C1) • excludes golden closure factorization (C2) • avoids over-refinement projection (C3) • minimal irreducible coarse-grained hinge Caption: φ (trace/closure) ↔ θₐ (irrational rotation / maximal redistribution) ↔ 7 (minimal irreducible non-absorbed hinge) along the Tropotic lαg Axis.

Caption (paper-ready):
Figure 1. Structural axis of toroponic redistribution between the Golden Ratio (φ; closure/trace regime), the Golden Angle (θₐ; maximal non-simultaneity under irrational rotation), and the minimal non-absorbed coarse-grained hinge (7). The heptagonal regime is the smallest prime partition surviving equal-partition factorization and structural absorption (C1–C3), thereby sustaining coherence between closure and dispersion under lαg.

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| Drafted Feb 18, 2026 · Web Feb 19, 2026 |