SN-φ-00

黄金螺旋の三層構造 ── 生成・固定・再帰

The Three-Layer Structure of the Golden Spiral

— The Pentagon as SO-Origin

GS-φ｜黄金構文としての φ ── φ as a Golden Syntax (Draft 0.1)JP/EN

概要

本短論は、黄金螺旋を三層構造として整理する試みである。

第一層は生成運動（θₐ）であり、非周期的な空間拡張を示す。
第二層は相似固定（φ）であり、生成運動が比として凝縮した構造的固定である。φは原因ではなく、生成の相似的痕跡として理解される。SO多角形系列において、五角形はφが幾何的に顕在化する最小非自明起点として位置づけられる。
第三層は再帰拡張（ψ）であり、相似固定が時間的反復へ展開する帯である。

構文順序は、生成 → 相似固定 → 再帰展開 である。

本稿は一般定理の提示を目的とせず、空間運動・比例固定・再帰保存を区別する構造的見取り図を提示するものである。

Abstract

This short note proposes a structural reading of the golden spiral through three distinct layers: generative motion (θₐ), similarity fixation (φ), and recursive expansion (ψ).

The golden angle represents non-periodic spatial expansion without closure. The golden ratio φ is not treated as the cause of this motion, but as its similarity fixation — a proportional condensation of generative dynamics. Within the SO-polygonal series, the pentagon is positioned as the minimal non-trivial structural origin where φ becomes geometrically manifest.

Recursive expansion, expressed in minimal self-similar form, extends this fixation into temporal iteration.

The proposed order is therefore:
generative motion → similarity fixation → recursive expansion.

This interpretation does not aim to establish a general mathematical theorem, but to provide a structural diagram distinguishing spatial motion, proportional stabilization, and recursive preservation within a unified framework.

0｜導入｜Introduction

日本語

本稿は、黄金螺旋を

• 生成運動（θₐ）

• 相似固定（φ）

• 再帰拡張（ψ）

の三層構造として整理する試みである。

五角形を SO 多角形系列の最小非自明起点として再配置し、φ を原因ではなく、生成運動の相似的固定として位置づける。

本稿の目的は、空間的運動・比例的安定化・時間的再帰を区別する構造的見取り図を提示することにある。

English

This note proposes a structural interpretation of the golden spiral through three layers:

• generative motion (θₐ),

• similarity fixation (φ),

• recursive expansion (ψ).

The pentagon is repositioned as the minimal non-trivial origin within the SO-polygonal series, where φ becomes structurally manifest.

Rather than treating φ as a cause, it is interpreted as a proportional fixation of generative motion.

The aim is not to establish a general theorem, but to distinguish spatial motion, proportional stabilization, and temporal recursion within a unified structural diagram.

図1｜Main Figure

Figure 1: Three-Layer Structure (Main Figure)

1｜Layer 1：生成運動（θₐ）

Layer 1: Generative Motion (θₐ)

日本語

黄金角は、

• 非周期的拡張

• 自己充填的展開

• 空間的拡張運動

を示す。

これは運動層である。
この段階では、比はまだ固定されていない。

English

The golden angle represents:

• non-periodic expansion,

• self-filling spatial unfolding,

• continuous generative motion.

This is the layer of motion.
At this stage, no proportional fixation has yet occurred.

2｜Layer 2：相似固定（φ）

Layer 2: Similarity Fixation (φ)

日本語

黄金比 φ は、

• 生成運動の相似的凝縮

• 比としての定着

• 五角形における最小非自明閉包

として現れる。

重要なのは次の点である：

φ は生成の原因ではない。
φ は生成の固定痕跡である。

五角形は SO 多角形系列の起点である。

English

The golden ratio φ appears as:

• a similarity condensation of generative motion,

• stabilization into proportional form,

• minimal non-trivial closure within the pentagon.

The essential distinction is this:

φ is not the cause of generation.
φ is the fixed trace of generation.

The pentagon functions as the structural origin of the SO-polygonal series.

3｜Layer 3：再帰拡張（ψ）

Layer 3: Recursive Expansion (ψ)

日本語

最小自己相似再帰は、

• 保存を含む反復

• 時間的展開

• 無限反復可能構文

として理解される。

φ はこの再帰の最小解である。
ψ はその時間的展開帯を示す。

English

Minimal self-similar recursion represents:

• iterative preservation,

• temporal unfolding,

• structurally infinite repetition.

φ is the minimal solution of such recursion.
ψ denotes the band of recursive expansion extending this fixation in time.

4｜構文順序

Structural Order

日本語

生成（θₐ） → 相似固定（φ） → 再帰展開（ψ）

幾何学的導出では φ が先に現れるが、構文生成論では運動が先行する。

両立は可能である。

English

Generative motion (θₐ) → similarity fixation (φ) → recursive expansion (ψ)

In geometric derivations, φ appears first.
In structural generative interpretation, motion precedes fixation.

These perspectives are compatible.

図2｜Structural Overview

Figure 2: Simultaneous Structural Field (Overview)
This figure illustrates the simultaneous co-presence of the three layers within a unified structural field.

結語｜Conclusion

日本語

φ は生成そのものではない。
生成の構文的痕跡である。

五角形は装飾ではない。
最小非自明 SO 起点である。

黄金螺旋は美的対象ではなく、運動・比・時間という三層構造の可視化である。

English

φ is not generation itself.
It is the structural trace of generation.

The pentagon is not decorative.
It is the minimal non-trivial SO-origin.

The golden spiral is not merely aesthetic.

It is the visible articulation of motion, ratio, and time within a three-layer structure.

SN-φ-02｜生成黄金角の痕跡としての φ ── SO多角形起点としての五角形｜φ as the Syntactic Trace of Generative Golden-Angle Motion ── The Pentagon as the Structural Origin of SO-Polygons
SLR-00｜SO–lag 転回から φ への再帰（草稿集）｜SO-lαg-φ drifts Collection

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| Drafted Feb 27, 2026 · Web Feb 28, 2026 |