HEG-3 Appendix (Draft, 2025-10-22)

Relation–Mass Theory: Technical Supplements

Appendix I — floc 粘性テンソル化（Relational Rheology）
Appendix II — ZURE 呼吸方程式（Breathing Equation for ∂ₜR）

Appendix I — floc 粘性テンソル化（Relational Rheology）

A1. 場の定義 / Field Definition

関係場 $R(x,t)$：位相空間（情報幾何学的多様体）上のスカラー／テンソル量。
速度場 $v_l := ∂_t R_l$（成分表示）
目的：関係更新の遅延・粘性を レオロジー（流動学） の言語でモデル化。

A2. 応力—速度勾配構成式 / Constitutive Law

連続体力学の粘性テンソルに倣い、関係応力 $σ_{ij}$ を

\[σ_{ij} = η_{ijkl}(R)\, ∂_k v_l \, + \, ζ(R)\, δ_{ij}\, ∂_m v_m \, + \, χ_{ij}(R,∇R)\]

と置く。

$η_{ijkl}(R)$：関係粘性テンソル（4階）
$ζ(R)$：体積粘性（関係圧縮抵抗）
$χ_{ij}$：floc 特有の絡まり項（トポロジー保存・非線形寄与）

物理比喩：$η$ が大きいほど、関係は絡まり（floc化）やすく、更新（$∂_t R$）に遅延を生じる。

A3. 遅延核（メモリ） / Memory Kernel

時間非局所性（遅延）を導入：

\[σ_{ij}(t)=\int_{-\infty}^{t} K_{ij}^{\;\;kl}(t-τ;R)\, ∂_k v_l(τ)\, dτ\]

$K$：遅延核。指数型・パワー型などのメモリを選択可能。
マルチスケール floc を示す場合、分数微分型メモリが自然：$K \sim (t-τ)^{-μ}$。

A4. 重力＝遅延場へのマッピング / Mapping to Effective Gravity

位相遅延は、ローカル時間計量の歪みとして観測される：

\[d\tilde t = \Lambda(R,η,K)\, dt, \quad \Lambda>1 \Rightarrow 時間遅延（重力的遅延）\]

したがって、関係粘性テンソルと遅延核の組が有効計量 $\tilde g_{\mu\nu}$ を誘起：
$\tilde g_{00} \approx -\Lambda^2$。

A5. 次元解析（簡易） / Dimensional Sketch

$[R]$：無次元（規格化された関係度） or 情報量単位（nat, bit）
$[v]=[∂_t R]$：1/Time
$[η]$：（応力）/（速度勾配）→ Time ×（関係応力の単位）
観測上は 遅延時間スケール $τ_f$ としてフェノロジー化すると扱いやすい。

Appendix II — ZURE 呼吸方程式（Breathing Equation）

B1. 位相差ダイナミクス / Phase-Difference Dynamics

ZURE を非同期位相差 $Δφ(x,t)$ の時間発展として記述：

\[∂_t R = α\, \sin(Δφ) + β\, ∂_t^2 R \, - \, γ\, |∇R|^2\, ∂_t R \, + \, ξ\, ∇^2 R \, + \, S(x,t)\]

$α$：位相駆動（感染の源）
$β$：慣性項（加速度応答）
$γ$：自己抑制・非線形減衰（過剰同期の抑制）
$ξ$：拡散（関係の平滑化）
$S$：外部観測・励起（観測＝感染の源）

B2. 線形化分散関係 / Linear Dispersion

背景 $R=R_0+δR$, $Δφ=Δφ_0$ で線形化：

\[(1)\; -iω \, δ\hat R = α\, \cos(Δφ_0)\, δ\hat R + β(-ω^2) \, δ\hat R - ξ k^2 \, δ\hat R\] \[\Rightarrow \; ω^2 + i\,\frac{1}{β} ω - \frac{α}{β}\cos(Δφ_0) - \frac{ξ}{β} k^2 = 0\]

共鳴条件：$α\cos(Δφ_0) > 0$。位相整合時に呼吸モードが立ち上がる。

B3. 量的予測（観測可能量） / Phenomenology

遅延スケール $τ_f$：重力的時間遅延と相関（Appendix I）。
スペクトル幅：$γ$ と $ξ$ で制御され、過剰同期を抑制。
感染阈値：$α_ \sim ξ k^2$（小スケールで拡散優位、大スケールで感染優位）。

B4. 詩的解釈 / Poetic Reading

呼吸とは、関係が遅れを抱えながら同期を試みる拍（beat）。
質量はためらい、重力はねばり、ZUREは相をずらし続ける。

Implementation Notes（camp-us 用）

図1：関係粘性テンソル概念図（$η_{ijkl}$ と遅延核 $K$ の関係）
図2：ZURE呼吸の分散関係（安定域／不安定域プロット）
参照脚注：HEG-1-3（正式版）の §2.2–2.3 を明記。
用語集：$R, Δφ, η, ζ, χ, K, τ_f, Λ$ の定義を集約。

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| Drafted Oct 22, 2025 · Web Oct 22, 2025 |